حل {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=4$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

اضرب -1 في \frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

اجمع -\frac{y}{2} مع y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=5$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=\frac{1}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

اضرب \frac{1}{2} في 10.

$$x=5+2$$

اجمع 2 مع 5.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

لجعل 2x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

تبسيط.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

اطرح -2x+2y=6 من -2x+y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-2y=-4-6$$

اجمع y مع -2y.

$$-y=-4-6$$

اجمع -4 مع -6.

$$-y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في -x+y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+10=3$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-x=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=10$$