حل {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-5x+y=-11$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$-5x=-y-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

اضرب -\frac{1}{5} في -y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{11+y}{5} في المعادلة الأخرى، 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

اضرب 4 في \frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

اجمع \frac{4y}{5} مع -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

اطرح \frac{44}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{26}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

اضرب \frac{1}{5} في -1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

اجمع \frac{11}{5} مع -\frac{1}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

لجعل -5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

تبسيط.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

اطرح -20x+30y=-70 من -20x+4y=-44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

اجمع -20x مع 20x. حذف الحدين -20x و20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-30y=-44+70$$

اجمع 4y مع -30y.

$$-26y=-44+70$$

اجمع -44 مع 70.

$$-26y=26$$

قسمة طرفي المعادلة على -26.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 4x-6y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

اضرب -6 في -1.

$$4x+6=14$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$4x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$