حل {l}{-2x-3y=7}{-13x+20y=322}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 2 x - 3 y = 7 }\\{ - 13 x + 20 y = 322 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-14$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x-3y=7$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y+7\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في 3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-7}{2} في المعادلة الأخرى، -13x+20y=322.

$$-13\left(-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}\right)+20y=322$$

اضرب -13 في \frac{-3y-7}{2}.

$$\frac{39}{2}y+\frac{91}{2}+20y=322$$

اجمع \frac{39y}{2} مع 20y.

$$\frac{79}{2}y+\frac{91}{2}=322$$

اطرح \frac{91}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{79}{2}y=\frac{553}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{79}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7-\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 7.

$$x=\frac{-21-7}{2}$$

اجمع -\frac{7}{2} مع -\frac{21}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-14$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-14,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{-3}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\\-\frac{-13}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{2}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}&-\frac{3}{79}\\-\frac{13}{79}&\frac{2}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}\times 7-\frac{3}{79}\times 322\\-\frac{13}{79}\times 7+\frac{2}{79}\times 322\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-14,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

لجعل -2x و-13x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -13 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-13\left(-2\right)x-13\left(-3\right)y=-13\times 7,-2\left(-13\right)x-2\times 20y=-2\times 322$$

تبسيط.

$$26x+39y=-91,26x-40y=-644$$

اطرح 26x-40y=-644 من 26x+39y=-91 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$26x-26x+39y+40y=-91+644$$

اجمع 26x مع -26x. حذف الحدين 26x و-26x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$39y+40y=-91+644$$

اجمع 39y مع 40y.

$$79y=-91+644$$

اجمع -91 مع 644.

$$79y=553$$

قسمة طرفي المعادلة على 79.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في -13x+20y=322. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-13x+20\times 7=322$$

اضرب 20 في 7.

$$-13x+140=322$$

اطرح 140 من طرفي المعادلة.

$$-13x=182$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$x=-14$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-14,y=7$$