حل {l}{text{(i)}px+qy=p-q}{qx-py=p+q}

$$\left. \begin{array}{l}{ \text { (i) } p x + q y = p - q }\\{ q x - p y = p + q }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}x=1\text{, }y=-1\text{, }&q\neq 0\text{ or }p\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&p=0\text{ and }q=0\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$px+qy=p-q,qx+\left(-p\right)y=p+q$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$px+qy=p-q$$

اطرح qy من طرفي المعادلة.

$$px=\left(-q\right)y+p-q$$

قسمة طرفي المعادلة على p.

$$x=\frac{1}{p}\left(\left(-q\right)y+p-q\right)$$

اضرب \frac{1}{p} في -qy+p-q.

$$x=\left(-\frac{q}{p}\right)y+\frac{p-q}{p}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-qy+p-q}{p} في المعادلة الأخرى، qx+\left(-p\right)y=p+q.

$$q\left(\left(-\frac{q}{p}\right)y+\frac{p-q}{p}\right)+\left(-p\right)y=p+q$$

اضرب q في \frac{-qy+p-q}{p}.

$$\left(-\frac{q^{2}}{p}\right)y+\frac{q\left(p-q\right)}{p}+\left(-p\right)y=p+q$$

اجمع -\frac{q^{2}y}{p} مع -py.

$$\left(-\frac{q^{2}}{p}-p\right)y+\frac{q\left(p-q\right)}{p}=p+q$$

اطرح \frac{q\left(p-q\right)}{p} من طرفي المعادلة.

$$\left(-\frac{q^{2}}{p}-p\right)y=\frac{q^{2}}{p}+p$$

قسمة طرفي المعادلة على -\frac{q^{2}}{p}-p.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\left(-\frac{q}{p}\right)y+\frac{p-q}{p}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{q}{p}\right)\left(-1\right)+\frac{p-q}{p}$$

اضرب -\frac{q}{p} في -1.

$$x=\frac{q+p-q}{p}$$

اجمع \frac{p-q}{p} مع \frac{q}{p}.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$px+qy=p-q,qx+\left(-p\right)y=p+q$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}p&q\\q&-p\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{p}{p\left(-p\right)-qq}&-\frac{q}{p\left(-p\right)-qq}\\-\frac{q}{p\left(-p\right)-qq}&\frac{p}{p\left(-p\right)-qq}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}+q^{2}}&\frac{q}{p^{2}+q^{2}}\\\frac{q}{p^{2}+q^{2}}&-\frac{p}{p^{2}+q^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p-q\\p+q\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{p}{p^{2}+q^{2}}\left(p-q\right)+\frac{q}{p^{2}+q^{2}}\left(p+q\right)\\\frac{q}{p^{2}+q^{2}}\left(p-q\right)+\left(-\frac{p}{p^{2}+q^{2}}\right)\left(p+q\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$px+qy=p-q,qx+\left(-p\right)y=p+q$$

لجعل px وqx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في q وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في p.

$$qpx+qqy=q\left(p-q\right),pqx+p\left(-p\right)y=p\left(p+q\right)$$

تبسيط.

$$pqx+q^{2}y=q\left(p-q\right),pqx+\left(-p^{2}\right)y=p\left(p+q\right)$$

اطرح pqx+\left(-p^{2}\right)y=p\left(p+q\right) من pqx+q^{2}y=q\left(p-q\right) عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$pqx+\left(-pq\right)x+q^{2}y+p^{2}y=q\left(p-q\right)-p\left(p+q\right)$$

اجمع qpx مع -qpx. حذف الحدين qpx و-qpx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$q^{2}y+p^{2}y=q\left(p-q\right)-p\left(p+q\right)$$

اجمع q^{2}y مع p^{2}y.

$$\left(p^{2}+q^{2}\right)y=q\left(p-q\right)-p\left(p+q\right)$$

اجمع q\left(p-q\right) مع -p\left(p+q\right).

$$\left(p^{2}+q^{2}\right)y=-p^{2}-q^{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على q^{2}+p^{2}.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في qx+\left(-p\right)y=p+q. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$qx+\left(-p\right)\left(-1\right)=p+q$$

اضرب -p في -1.

$$qx+p=p+q$$

اطرح p من طرفي المعادلة.

$$qx=q$$

قسمة طرفي المعادلة على q.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$