حل {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=17$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ -1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y+1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+1.

$$3x+3=y+1$$

اطرح y من الطرفين.

$$3x+3-y=1$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$3x-y=1-3$$

اطرح 3 من 1 لتحصل على -2.

$$3x-y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 4\left(y-1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x-1.

$$4x-4=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$4x-4-y=-1$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$4x-y=-1+4$$

اجمع -1 مع 4 لتحصل على 3.

$$4x-y=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=-2$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2+y}{3} في المعادلة الأخرى، 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

اضرب 4 في \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

اجمع \frac{4y}{3} مع -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

أضف \frac{8}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=17$$

عوّض عن y بالقيمة 17 في x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

اجمع -\frac{2}{3} مع \frac{17}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=17$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ -1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y+1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+1.

$$3x+3=y+1$$

اطرح y من الطرفين.

$$3x+3-y=1$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$3x-y=1-3$$

اطرح 3 من 1 لتحصل على -2.

$$3x-y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 4\left(y-1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x-1.

$$4x-4=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$4x-4-y=-1$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$4x-y=-1+4$$

اجمع -1 مع 4 لتحصل على 3.

$$4x-y=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=17$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ -1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 3\left(y+1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+1.

$$3x+3=y+1$$

اطرح y من الطرفين.

$$3x+3-y=1$$

اطرح 3 من الطرفين.

$$3x-y=1-3$$

اطرح 3 من 1 لتحصل على -2.

$$3x-y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 1 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في 4\left(y-1\right)، أقل مضاعف مشترك لـ y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في x-1.

$$4x-4=y-1$$

اطرح y من الطرفين.

$$4x-4-y=-1$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$4x-y=-1+4$$

اجمع -1 مع 4 لتحصل على 3.

$$4x-y=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

اطرح 4x-y=3 من 3x-y=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x-4x=-2-3$$

اجمع 3x مع -4x.

$$-x=-2-3$$

اجمع -2 مع -3.

$$-x=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=5$$

عوّض عن x بالقيمة 5 في 4x-y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$4\times 5-y=3$$

اضرب 4 في 5.

$$20-y=3$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$-y=-17$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=17$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=17$$