حل {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=-5$$

$$b=25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$a+b=20$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$a=-b+20$$

عوّض عن a بالقيمة -b+20 في المعادلة الأخرى، 6a+2b=20.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

اضرب 6 في -b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

اجمع -6b مع 2b.

$$-4b+120=20$$

اطرح 120 من طرفي المعادلة.

$$-4b=-100$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$b=25$$

عوّض عن b بالقيمة 25 في a=-b+20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-25+20$$

اجمع 20 مع -25.

$$a=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-5,b=25$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-5,b=25$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

لجعل a و6a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

تبسيط.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

اطرح 6a+2b=20 من 6a+6b=120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

اجمع 6a مع -6a. حذف الحدين 6a و-6a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6b-2b=120-20$$

اجمع 6b مع -2b.

$$4b=120-20$$

اجمع 120 مع -20.

$$4b=100$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$b=25$$

عوّض عن b بالقيمة 25 في 6a+2b=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$6a+2\times 25=20$$

اضرب 2 في 25.

$$6a+50=20$$

اطرح 50 من طرفي المعادلة.

$$6a=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$a=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-5,b=25$$