حل {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+y=21$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$8x=-y+21$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+21}{8} في المعادلة الأخرى، 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

اضرب 24 في \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

اجمع -3y مع -5y.

$$-8y+63=23$$

اطرح 63 من طرفي المعادلة.

$$-8y=-40$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

اضرب -\frac{1}{8} في 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

اجمع \frac{21}{8} مع -\frac{5}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

لجعل 8x و24x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 24 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

تبسيط.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

اطرح 192x-40y=184 من 192x+24y=504 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

اجمع 192x مع -192x. حذف الحدين 192x و-192x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y+40y=504-184$$

اجمع 24y مع 40y.

$$64y=504-184$$

اجمع 504 مع -184.

$$64y=320$$

قسمة طرفي المعادلة على 64.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 24x-5y=23. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$24x-5\times 5=23$$

اضرب -5 في 5.

$$24x-25=23$$

أضف 25 إلى طرفي المعادلة.

$$24x=48$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=5$$