حل {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+2y=24$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$7x=-2y+24$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+24}{7} في المعادلة الأخرى، -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

اضرب -8 في \frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

اجمع \frac{16y}{7} مع 2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

أضف \frac{192}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{30}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{5} في x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

اضرب -\frac{2}{7} في -\frac{3}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

اجمع \frac{24}{7} مع \frac{6}{35} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{18}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

اطرح -8x+2y=-30 من 7x+2y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7x+8x=24+30$$

اجمع 7x مع 8x.

$$15x=24+30$$

اجمع 24 مع 30.

$$15x=54$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$x=\frac{18}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{18}{5} في -8x+2y=-30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

اضرب -8 في \frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

أضف \frac{144}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$