حل {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+8y=k$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$6x=-8y+k$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} في المعادلة الأخرى، x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

اجمع -\frac{4y}{3} مع y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

اطرح \frac{k}{6} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3+\frac{k}{2} في x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

اضرب -\frac{4}{3} في -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

اجمع \frac{k}{6} مع 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

لجعل 6x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

اطرح 6x+6y=6 من 6x+8y=k عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-6y=k-6$$

اجمع 8y مع -6y.

$$2y=k-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{k}{2}-3 في x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

اطرح -3+\frac{k}{2} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$