حل {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=4$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5y+x=44,y-x=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$5y+x=44$$

اطرح x من طرفي المعادلة.

$$5y=-x+44$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-x+44}{5} في المعادلة الأخرى، y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

اجمع -\frac{x}{5} مع -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

اطرح \frac{44}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{6}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

اجمع \frac{44}{5} مع -\frac{4}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=8,x=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5y+x=44,y-x=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=8,x=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5y+x=44,y-x=4$$

لجعل 5y وy متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

تبسيط.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

اطرح 5y-5x=20 من 5y+x=44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+5x=44-20$$

اجمع x مع 5x.

$$6x=44-20$$

اجمع 44 مع -20.

$$6x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y-x=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-4=4$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$y=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=8,x=4$$