حل {r}{5x-3y=17}{-2x+5y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 3 y = 17 } \\ { - 2 x + 5 y = - 22 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=17$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+17\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 3y+17.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+17}{5} في المعادلة الأخرى، -2x+5y=-22.

$$-2\left(\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}\right)+5y=-22$$

اضرب -2 في \frac{3y+17}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{34}{5}+5y=-22$$

اجمع -\frac{6y}{5} مع 5y.

$$\frac{19}{5}y-\frac{34}{5}=-22$$

أضف \frac{34}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{76}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{17}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -4.

$$x=\frac{-12+17}{5}$$

اجمع \frac{17}{5} مع -\frac{12}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 17+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{2}{19}\times 17+\frac{5}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

لجعل 5x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-2\times 5x-2\left(-3\right)y=-2\times 17,5\left(-2\right)x+5\times 5y=5\left(-22\right)$$

تبسيط.

$$-10x+6y=-34,-10x+25y=-110$$

اطرح -10x+25y=-110 من -10x+6y=-34 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-10x+10x+6y-25y=-34+110$$

اجمع -10x مع 10x. حذف الحدين -10x و10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-25y=-34+110$$

اجمع 6y مع -25y.

$$-19y=-34+110$$

اجمع -34 مع 110.

$$-19y=76$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في -2x+5y=-22. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+5\left(-4\right)=-22$$

اضرب 5 في -4.

$$-2x-20=-22$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-4$$