حل {r}{5x-2y=16}{x+3y=-7}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = 16 } \\ { x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-2y=16,x+3y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-2y=16$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2y+16$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{16+2y}{5} في المعادلة الأخرى، x+3y=-7.

$$\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}+3y=-7$$

اجمع \frac{2y}{5} مع 3y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{16}{5}=-7$$

اطرح \frac{16}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{51}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{16}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في -3.

$$x=\frac{-6+16}{5}$$

اجمع \frac{16}{5} مع -\frac{6}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=16,x+3y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 3-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 16+\frac{2}{17}\left(-7\right)\\-\frac{1}{17}\times 16+\frac{5}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=16,x+3y=-7$$

لجعل 5x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$5x-2y=16,5x+5\times 3y=5\left(-7\right)$$

تبسيط.

$$5x-2y=16,5x+15y=-35$$

اطرح 5x+15y=-35 من 5x-2y=16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x-2y-15y=16+35$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-15y=16+35$$

اجمع -2y مع -15y.

$$-17y=16+35$$

اجمع 16 مع 35.

$$-17y=51$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x+3y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\left(-3\right)=-7$$

اضرب 3 في -3.

$$x-9=-7$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-3$$