حل {r}{4x-y=1}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-y=1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1+y}{4} في المعادلة الأخرى، 3x+y=9.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

اضرب 3 في \frac{1+y}{4}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

اجمع \frac{3y}{4} مع y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

اطرح \frac{3}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{33}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{33}{7} في x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

اضرب \frac{1}{4} في \frac{33}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{33}{28} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{10}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

تبسيط.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

اطرح 12x+4y=36 من 12x-3y=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-4y=3-36$$

اجمع -3y مع -4y.

$$-7y=3-36$$

اجمع 3 مع -36.

$$-7y=-33$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{33}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{33}{7} في 3x+y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

اطرح \frac{33}{7} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{30}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{10}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$