حل {r}{4x-6=-2y}{x+9=y}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 6 = - 2 y } \\ { x + 9 = y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$4x-6+2y=0$$

إضافة 6 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$4x+2y=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x+9-y=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-y=-9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=6$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+3}{2} في المعادلة الأخرى، x-y=-9.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-9$$

اجمع -\frac{y}{2} مع -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=-9$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{21}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

اجمع \frac{3}{2} مع -\frac{7}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$4x-6+2y=0$$

إضافة 6 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$4x+2y=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x+9-y=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-y=-9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{6}\times 6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$4x-6+2y=0$$

إضافة 6 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$4x+2y=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$x+9-y=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-y=-9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=6,x-y=-9$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+2y=6,4x+4\left(-1\right)y=4\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$4x+2y=6,4x-4y=-36$$

اطرح 4x-4y=-36 من 4x+2y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+2y+4y=6+36$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+4y=6+36$$

اجمع 2y مع 4y.

$$6y=6+36$$

اجمع 6 مع 36.

$$6y=42$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x-y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-7=-9$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=7$$