حل {r}{4x-2y=5}{-3x+5y=-2}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-2y=5$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=2y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 2y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+\frac{5}{4} في المعادلة الأخرى، -3x+5y=-2.

$$-3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+5y=-2$$

اضرب -3 في \frac{y}{2}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{15}{4}+5y=-2$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 5y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{15}{4}=-2$$

أضف \frac{15}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=\frac{7}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{4}$$

اضرب \frac{1}{2} في \frac{1}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع \frac{1}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\times 5+\frac{1}{7}\left(-2\right)\\\frac{3}{14}\times 5+\frac{2}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

لجعل 4x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-3\times 4x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,4\left(-3\right)x+4\times 5y=4\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$-12x+6y=-15,-12x+20y=-8$$

اطرح -12x+20y=-8 من -12x+6y=-15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x+6y-20y=-15+8$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-20y=-15+8$$

اجمع 6y مع -20y.

$$-14y=-15+8$$

اجمع -15 مع 8.

$$-14y=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في -3x+5y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+5\times \frac{1}{2}=-2$$

اضرب 5 في \frac{1}{2}.

$$-3x+\frac{5}{2}=-2$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-3x=-\frac{9}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$