حل {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-2y+4=0$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$4x-2y=-4$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=2y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}-1 في المعادلة الأخرى، -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

اضرب -4 في \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y+4-3=0$$

اجمع 4 مع -3.

$$y+1=0$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{1}{2}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

اضرب \frac{1}{2} في -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

اجمع -1 مع -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

لجعل 4x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

تبسيط.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

اطرح -16x+12y-12=0 من -16x+8y-16=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

اجمع -16x مع 16x. حذف الحدين -16x و16x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-12y-16+12=0$$

اجمع 8y مع -12y.

$$-4y-16+12=0$$

اجمع -16 مع 12.

$$-4y-4=0$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -4x+3y-3=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

اضرب 3 في -1.

$$-4x-3-3=0$$

اجمع -3 مع -3.

$$-4x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$