حل {r}{4x+3y=17}{3x-4y+6=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 4 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=17$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+17\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+17.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+17}{4} في المعادلة الأخرى، 3x-4y+6=0.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}\right)-4y+6=0$$

اضرب 3 في \frac{-3y+17}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{51}{4}-4y+6=0$$

اجمع -\frac{9y}{4} مع -4y.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{51}{4}+6=0$$

اجمع \frac{51}{4} مع 6.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{75}{4}=0$$

اطرح \frac{75}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{4}y=-\frac{75}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{17}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

اجمع \frac{17}{4} مع -\frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 17+\frac{3}{25}\left(-6\right)\\\frac{3}{25}\times 17-\frac{4}{25}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 17,4\times 3x+4\left(-4\right)y+4\times 6=0$$

تبسيط.

$$12x+9y=51,12x-16y+24=0$$

اطرح 12x-16y+24=0 من 12x+9y=51 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+9y+16y-24=51$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+16y-24=51$$

اجمع 9y مع 16y.

$$25y-24=51$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$25y=75$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 3x-4y+6=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-4\times 3+6=0$$

اضرب -4 في 3.

$$3x-12+6=0$$

اجمع -12 مع 6.

$$3x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=3$$