حل {r}{4x+3y=15}{x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 15 } \\ { x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=15$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+15.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+15}{4} في المعادلة الأخرى، x-2y=12.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}-2y=12$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع -2y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{15}{4}=12$$

اطرح \frac{15}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{33}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{15}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -3.

$$x=\frac{9+15}{4}$$

اجمع \frac{15}{4} مع \frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 15+\frac{3}{11}\times 12\\\frac{1}{11}\times 15-\frac{4}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+3y=15,4x+4\left(-2\right)y=4\times 12$$

تبسيط.

$$4x+3y=15,4x-8y=48$$

اطرح 4x-8y=48 من 4x+3y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+3y+8y=15-48$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+8y=15-48$$

اجمع 3y مع 8y.

$$11y=15-48$$

اجمع 15 مع -48.

$$11y=-33$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x-2y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\left(-3\right)=12$$

اضرب -2 في -3.

$$x+6=12$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-3$$