حل {r}{3x+7y=2}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x + 7 y = 2 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{51}{10} = 5\frac{1}{10} = 5.1$$

$$y = -\frac{19}{10} = -1\frac{9}{10} = -1.9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+7y=2$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$3x=-7y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -7y+2.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y+2}{3} في المعادلة الأخرى، x-y=7.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}-y=7$$

اجمع -\frac{7y}{3} مع -y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}=7$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{10}{3}y=\frac{19}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{10}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{19}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{10} في x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{3}\left(-\frac{19}{10}\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{7}{3} في -\frac{19}{10} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{133}{30}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع \frac{133}{30} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{51}{10}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&-\frac{7}{3\left(-1\right)-7}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{7}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{7}{10}\times 7\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{51}{10}\\-\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+7y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\times 7$$

تبسيط.

$$3x+7y=2,3x-3y=21$$

اطرح 3x-3y=21 من 3x+7y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+7y+3y=2-21$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y+3y=2-21$$

اجمع 7y مع 3y.

$$10y=2-21$$

اجمع 2 مع -21.

$$10y=-19$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-\frac{19}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{10} في x-y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-\frac{19}{10}\right)=7$$

اطرح \frac{19}{10} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{51}{10}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$