حل {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$22x+3y=5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$22x=-3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{22} في -3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+5}{22} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

اضرب 3 في \frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

اجمع -\frac{9y}{22} مع 2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

اطرح \frac{15}{22} من طرفي المعادلة.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{35}{22}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{305}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{305}{7} في x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

اضرب -\frac{3}{22} في \frac{305}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

اجمع \frac{5}{22} مع -\frac{915}{154} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{40}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

لجعل 22x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 22.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

تبسيط.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

اطرح 66x+44y=1540 من 66x+9y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

اجمع 66x مع -66x. حذف الحدين 66x و-66x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-44y=15-1540$$

اجمع 9y مع -44y.

$$-35y=15-1540$$

اجمع 15 مع -1540.

$$-35y=-1525$$

قسمة طرفي المعادلة على -35.

$$y=\frac{305}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{305}{7} في 3x+2y=70. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

اضرب 2 في \frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

اطرح \frac{610}{7} من طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{40}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$