حل {r}{2x+4y=56}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 4 y = 56 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=12$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=56$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+56$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+56\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+56.

$$x=-2y+28$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+28 في المعادلة الأخرى، x+y=20.

$$-2y+28+y=20$$

اجمع -2y مع y.

$$-y+28=20$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$-y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-2y+28. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 8+28$$

اضرب -2 في 8.

$$x=-16+28$$

اجمع 28 مع -16.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 56+2\times 20\\\frac{1}{2}\times 56-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=12,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+4y=56,2x+2y=2\times 20$$

تبسيط.

$$2x+4y=56,2x+2y=40$$

اطرح 2x+2y=40 من 2x+4y=56 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+4y-2y=56-40$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-2y=56-40$$

اجمع 4y مع -2y.

$$2y=56-40$$

اجمع 56 مع -40.

$$2y=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x+y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+8=20$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$x=12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=12,y=8$$