حل {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$12x+3y=5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$12x=-3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{12} في -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

اضرب 3 في -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{23}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{23}{5} في x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

اضرب -\frac{1}{4} في \frac{23}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

اجمع \frac{5}{12} مع -\frac{23}{20} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{11}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

لجعل 12x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

تبسيط.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

اطرح 36x+24y=84 من 36x+9y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

اجمع 36x مع -36x. حذف الحدين 36x و-36x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-24y=15-84$$

اجمع 9y مع -24y.

$$-15y=15-84$$

اجمع 15 مع -84.

$$-15y=-69$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=\frac{23}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{23}{5} في 3x+2y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

اضرب 2 في \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

اطرح \frac{46}{5} من طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{11}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$