حل {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x-10y=-10$$

أضف 10y إلى طرفي المعادلة.

$$10x=10y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -10+10y.

$$x=y-1$$

عوّض عن x بالقيمة y-1 في المعادلة الأخرى، -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

اضرب -10 في y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

اجمع -10y مع 8y.

$$-2y+10=12$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-2y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-1-1$$

اجمع -1 مع -1.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

لجعل 10x و-10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

تبسيط.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

اطرح -100x+80y=120 من -100x+100y=100 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

اجمع -100x مع 100x. حذف الحدين -100x و100x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$100y-80y=100-120$$

اجمع 100y مع -80y.

$$20y=100-120$$

اجمع 100 مع -120.

$$20y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -10x+8y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

اضرب 8 في -1.

$$-10x-8=12$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-10x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-1$$