حل {r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-6x+21y=-24$$

اطرح 21y من طرفي المعادلة.

$$-6x=-21y-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

اضرب -\frac{1}{6} في -21y-24.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، 6x-4y=24.

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

اضرب 6 في \frac{7y}{2}+4.

$$21y+24-4y=24$$

اجمع 21y مع -4y.

$$17y+24=24$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$17y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{7}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

لجعل -6x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

تبسيط.

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

اطرح -36x+24y=-144 من -36x+126y=-144 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

اجمع -36x مع 36x. حذف الحدين -36x و36x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$126y-24y=-144+144$$

اجمع 126y مع -24y.

$$102y=-144+144$$

اجمع -144 مع 144.

$$102y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 102.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 6x-4y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$