حل {r}{-2x+9y=8}{x-2y=6}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=14$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-2x+9y=8$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$-2x=-9y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

اضرب -\frac{1}{2} في -9y+8.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{9y}{2}-4 في المعادلة الأخرى، x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

اجمع \frac{9y}{2} مع -2y.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}y=10$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{9}{2}y-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

اضرب \frac{9}{2} في 4.

$$x=18-4$$

اجمع -4 مع 18.

$$x=14$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=14,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=14,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

لجعل -2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

تبسيط.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

اطرح -2x+4y=-12 من -2x+9y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-4y=8+12$$

اجمع 9y مع -4y.

$$5y=8+12$$

اجمع 8 مع 12.

$$5y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x-2y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\times 4=6$$

اضرب -2 في 4.

$$x-8=6$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$x=14$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=14,y=4$$