حل {r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=3$$

$$b=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$-2a+3b=0$$

اطرح 3b من طرفي المعادلة.

$$-2a=-3b$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

اضرب -\frac{1}{2} في -3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{3b}{2} في المعادلة الأخرى، 2a+5b=16.

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

اضرب 2 في \frac{3b}{2}.

$$3b+5b=16$$

اجمع 3b مع 5b.

$$8b=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$b=2$$

عوّض عن b بالقيمة 2 في a=\frac{3}{2}b. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

اضرب \frac{3}{2} في 2.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=3,b=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

لجعل -2a و2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -2.

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

تبسيط.

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

اطرح -4a-10b=-32 من -4a+6b=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

اجمع -4a مع 4a. حذف الحدين -4a و4a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6b+10b=32$$

اجمع 6b مع 10b.

$$16b=32$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$b=2$$

عوّض عن b بالقيمة 2 في 2a+5b=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a+5\times 2=16$$

اضرب 5 في 2.

$$2a+10=16$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$2a=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,b=2$$