حل {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$2x-3y=-9-2$$

اطرح 2 من -9 لتحصل على -11.

$$2x-3y=-11$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

اجمع 3x مع 3x لتحصل على 6x.

$$6x+15-3y=12$$

اطرح 15 من الطرفين.

$$6x-3y=12-15$$

اطرح 15 من 12 لتحصل على -3.

$$6x-3y=-3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=-11$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-11$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y-11}{2} في المعادلة الأخرى، 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

اضرب 6 في \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

اجمع 9y مع -3y.

$$6y-33=-3$$

أضف 33 إلى طرفي المعادلة.

$$6y=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

اجمع -\frac{11}{2} مع \frac{15}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$2x-3y=-9-2$$

اطرح 2 من -9 لتحصل على -11.

$$2x-3y=-11$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

اجمع 3x مع 3x لتحصل على 6x.

$$6x+15-3y=12$$

اطرح 15 من الطرفين.

$$6x-3y=12-15$$

اطرح 15 من 12 لتحصل على -3.

$$6x-3y=-3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

اطرح 2 من الطرفين.

$$2x-3y=-9-2$$

اطرح 2 من -9 لتحصل على -11.

$$2x-3y=-11$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

اجمع 3x مع 3x لتحصل على 6x.

$$6x+15-3y=12$$

اطرح 15 من الطرفين.

$$6x-3y=12-15$$

اطرح 15 من 12 لتحصل على -3.

$$6x-3y=-3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

اطرح 6x-3y=-3 من 2x-3y=-11 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

اجمع -3y مع 3y. حذف الحدين -3y و3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-6x=-11+3$$

اجمع 2x مع -6x.

$$-4x=-11+3$$

اجمع -11 مع 3.

$$-4x=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في 6x-3y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$6\times 2-3y=-3$$

اضرب 6 في 2.

$$12-3y=-3$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=5$$