حل {l}{y=x-7}{y=-2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 7 } \\ { y = - 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=-1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-x=-7$$

أضف x إلى طرفي المعادلة.

$$y=x-7$$

عوّض عن y بالقيمة x-7 في المعادلة الأخرى، y+2x=-1.

$$x-7+2x=-1$$

اجمع x مع 2x.

$$3x-7=-1$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=x-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2-7$$

اجمع -7 مع 2.

$$y=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-5,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=-1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-5,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-7$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=-1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-x=-7,y+2x=-1$$

اطرح y+2x=-1 من y-x=-7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-x-2x=-7+1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-x-2x=-7+1$$

اجمع -x مع -2x.

$$-3x=-7+1$$

اجمع -7 مع 1.

$$-3x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y+2x=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+2\times 2=-1$$

اضرب 2 في 2.

$$y+4=-1$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$y=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-5,x=2$$