حل {l}{y=x+1}{y=3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-x=1,y-3x=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-x=1$$

أضف x إلى طرفي المعادلة.

$$y=x+1$$

عوّض عن y بالقيمة x+1 في المعادلة الأخرى، y-3x=2.

$$x+1-3x=2$$

اجمع x مع -3x.

$$-2x+1=2$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$-2x=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{1}{2} في y=x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-x=1,y-3x=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-x=1,y-3x=2$$

اطرح y-3x=2 من y-x=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-x+3x=1-2$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-x+3x=1-2$$

اجمع -x مع 3x.

$$2x=1-2$$

اجمع 1 مع -2.

$$2x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{1}{2} في y-3x=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-3\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

اضرب -3 في -\frac{1}{2}.

$$y+\frac{3}{2}=2$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$