حل {l}{y=4x-9}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 9 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-4x=-9$$

أضف 4x إلى طرفي المعادلة.

$$y=4x-9$$

عوّض عن y بالقيمة 4x-9 في المعادلة الأخرى، y-x=-3.

$$4x-9-x=-3$$

اجمع 4x مع -x.

$$3x-9=-3$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=4x-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=4\times 2-9$$

اضرب 4 في 2.

$$y=8-9$$

اجمع -9 مع 8.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{4}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-1,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

اطرح y-x=-3 من y-4x=-9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-4x+x=-9+3$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x+x=-9+3$$

اجمع -4x مع x.

$$-3x=-9+3$$

اجمع -9 مع 3.

$$-3x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y-x=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-2=-3$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=2$$