حل {l}{y=4x-5}{y=2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 5 } \\ { y = 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=4$$

$$y=11$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-4x=-5$$

أضف 4x إلى طرفي المعادلة.

$$y=4x-5$$

عوّض عن y بالقيمة 4x-5 في المعادلة الأخرى، y-2x=3.

$$4x-5-2x=3$$

اجمع 4x مع -2x.

$$2x-5=3$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y=4x-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=4\times 4-5$$

اضرب 4 في 4.

$$y=16-5$$

اجمع -5 مع 16.

$$y=11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=11,x=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-5\right)+2\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=11,x=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-4x=-5,y-2x=3$$

اطرح y-2x=3 من y-4x=-5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-4x+2x=-5-3$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x+2x=-5-3$$

اجمع -4x مع 2x.

$$-2x=-5-3$$

اجمع -5 مع -3.

$$-2x=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y-2x=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-2\times 4=3$$

اضرب -2 في 4.

$$y-8=3$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$y=11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=11,x=4$$