حل {l}{y=4x+2}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-4x=2$$

أضف 4x إلى طرفي المعادلة.

$$y=4x+2$$

عوّض عن y بالقيمة 4x+2 في المعادلة الأخرى، y+2x=-4.

$$4x+2+2x=-4$$

اجمع 4x مع 2x.

$$6x+2=-4$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في y=4x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=4\left(-1\right)+2$$

اضرب 4 في -1.

$$y=-4+2$$

اجمع 2 مع -4.

$$y=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-2,x=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-4\right)}&\frac{1}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{2}{3}\left(-4\right)\\-\frac{1}{6}\times 2+\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-2,x=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-4x=2,y+2x=-4$$

اطرح y+2x=-4 من y-4x=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-4x-2x=2+4$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x-2x=2+4$$

اجمع -4x مع -2x.

$$-6x=2+4$$

اجمع 2 مع 4.

$$-6x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في y+2x=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

اضرب 2 في -1.

$$y-2=-4$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$y=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-2,x=-1$$