حل {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=10$$

$$y=20$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-2x=0$$

أضف 2x إلى طرفي المعادلة.

$$y=2x$$

عوّض عن y بالقيمة 2x في المعادلة الأخرى، 200y+300x=7000.

$$200\times 2x+300x=7000$$

اضرب 200 في 2x.

$$400x+300x=7000$$

اجمع 400x مع 300x.

$$700x=7000$$

قسمة طرفي المعادلة على 700.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في y=2x. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2\times 10$$

اضرب 2 في 10.

$$y=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=20,x=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=20,x=10$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

لجعل y و200y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 200 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

تبسيط.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

اطرح 200y+300x=7000 من 200y-400x=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

اجمع 200y مع -200y. حذف الحدين 200y و-200y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-400x-300x=-7000$$

اجمع -400x مع -300x.

$$-700x=-7000$$

قسمة طرفي المعادلة على -700.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في 200y+300x=7000. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$200y+300\times 10=7000$$

اضرب 300 في 10.

$$200y+3000=7000$$

اطرح 3000 من طرفي المعادلة.

$$200y=4000$$

قسمة طرفي المعادلة على 200.

$$y=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=20,x=10$$