حل {l}{y=-x-3}{y=-8x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 3 } \\ { y = - 8 x + 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=1$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 8x لكلا الجانبين.

$$y+8x=4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+x=-3$$

اطرح x من طرفي المعادلة.

$$y=-x-3$$

عوّض عن y بالقيمة -x-3 في المعادلة الأخرى، y+8x=4.

$$-x-3+8x=4$$

اجمع -x مع 8x.

$$7x-3=4$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y=-x-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-1-3$$

اجمع -3 مع -1.

$$y=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-4,x=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 8x لكلا الجانبين.

$$y+8x=4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{1}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}\left(-3\right)-\frac{1}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-4,x=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=-3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 8x لكلا الجانبين.

$$y+8x=4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

اطرح y+8x=4 من y+x=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+x-8x=-3-4$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x-8x=-3-4$$

اجمع x مع -8x.

$$-7x=-3-4$$

اجمع -3 مع -4.

$$-7x=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y+8x=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+8=4$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$y=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-4,x=1$$