حل {l}{y=-5x+1}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-1$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=7$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+5x=1,y-x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+5x=1$$

اطرح 5x من طرفي المعادلة.

$$y=-5x+1$$

عوّض عن y بالقيمة -5x+1 في المعادلة الأخرى، y-x=7.

$$-5x+1-x=7$$

اجمع -5x مع -x.

$$-6x+1=7$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$-6x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في y=-5x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

اضرب -5 في -1.

$$y=5+1$$

اجمع 1 مع 5.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=6,x=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=7$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+5x=1,y-x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{5}{-1-5}\\-\frac{1}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\times 7\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=6,x=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$y-x=7$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+5x=1,y-x=7$$

اطرح y-x=7 من y+5x=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+5x+x=1-7$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5x+x=1-7$$

اجمع 5x مع x.

$$6x=1-7$$

اجمع 1 مع -7.

$$6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في y-x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-\left(-1\right)=7$$

اضرب -1 في -1.

$$y+1=7$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=6,x=-1$$