حل {l}{y=-2x}{4x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-3$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+2x=0$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$y=-2x$$

عوّض عن y بالقيمة -2x في المعادلة الأخرى، 6y+4x=24.

$$6\left(-2\right)x+4x=24$$

اضرب 6 في -2x.

$$-12x+4x=24$$

اجمع -12x مع 4x.

$$-8x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=-3$$

عوّض عن x بالقيمة -3 في y=-2x. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2\left(-3\right)$$

اضرب -2 في -3.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=6,x=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 6}&-\frac{2}{4-2\times 6}\\-\frac{6}{4-2\times 6}&\frac{1}{4-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=6,x=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

لجعل y و6y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$6y+6\times 2x=0,6y+4x=24$$

تبسيط.

$$6y+12x=0,6y+4x=24$$

اطرح 6y+4x=24 من 6y+12x=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6y-6y+12x-4x=-24$$

اجمع 6y مع -6y. حذف الحدين 6y و-6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12x-4x=-24$$

اجمع 12x مع -4x.

$$8x=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=-3$$

عوّض عن x بالقيمة -3 في 6y+4x=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$6y+4\left(-3\right)=24$$

اضرب 4 في -3.

$$6y-12=24$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$6y=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=6,x=-3$$