حل {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=7$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=13$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+2x=13$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$y=-2x+13$$

عوّض عن y بالقيمة -2x+13 في المعادلة الأخرى، 8y+4x=20.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

اضرب 8 في -2x+13.

$$-16x+104+4x=20$$

اجمع -16x مع 4x.

$$-12x+104=20$$

اطرح 104 من طرفي المعادلة.

$$-12x=-84$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$x=7$$

عوّض عن x بالقيمة 7 في y=-2x+13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2\times 7+13$$

اضرب -2 في 7.

$$y=-14+13$$

اجمع 13 مع -14.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=13$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-1,x=7$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=13$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

لجعل y و8y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

تبسيط.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

اطرح 8y+4x=20 من 8y+16x=104 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

اجمع 8y مع -8y. حذف الحدين 8y و-8y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16x-4x=104-20$$

اجمع 16x مع -4x.

$$12x=104-20$$

اجمع 104 مع -20.

$$12x=84$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=7$$

عوّض عن x بالقيمة 7 في 8y+4x=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$8y+4\times 7=20$$

اضرب 4 في 7.

$$8y+28=20$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$8y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=7$$