حل {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة كل جزء من x+3 على 2 للحصول على \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

اجمع \frac{3}{2} مع 3 لتحصل على \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9+x}{2} في المعادلة الأخرى، y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

اجمع \frac{x}{2} مع -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{11}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{11}{3} في y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في -\frac{11}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع -\frac{11}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة كل جزء من x+3 على 2 للحصول على \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

اجمع \frac{3}{2} مع 3 لتحصل على \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=10$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة كل جزء من x+3 على 2 للحصول على \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

اجمع \frac{3}{2} مع 3 لتحصل على \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=10$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

اطرح y-2x=10 من y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

اجمع -\frac{x}{2} مع 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

اجمع \frac{9}{2} مع -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{11}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{11}{3} في y-2x=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

اضرب -2 في -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

اطرح \frac{22}{3} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{8}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$