حل {l}{y=1/3x-6}{y=1/9x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=9$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

أضف \frac{x}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{3}x-6$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{3}-6 في المعادلة الأخرى، y-\frac{1}{9}x=-4.

$$\frac{1}{3}x-6-\frac{1}{9}x=-4$$

اجمع \frac{x}{3} مع -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x-6=-4$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{9}x=2$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=9$$

عوّض عن x بالقيمة 9 في y=\frac{1}{3}x-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{3}\times 9-6$$

اضرب \frac{1}{3} في 9.

$$y=3-6$$

اجمع -6 مع 3.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-3,x=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-6\right)+\frac{3}{2}\left(-4\right)\\-\frac{9}{2}\left(-6\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-3,x=9$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{9}x=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{3}x=-6,y-\frac{1}{9}x=-4$$

اطرح y-\frac{1}{9}x=-4 من y-\frac{1}{3}x=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=-6+4$$

اجمع -\frac{x}{3} مع \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=-6+4$$

اجمع -6 مع 4.

$$-\frac{2}{9}x=-2$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=9$$

عوّض عن x بالقيمة 9 في y-\frac{1}{9}x=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-\frac{1}{9}\times 9=-4$$

اضرب -\frac{1}{9} في 9.

$$y-1=-4$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-3,x=9$$