حل {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

أضف \frac{x}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{3}+6 في المعادلة الأخرى، y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

اجمع \frac{x}{3} مع -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{63}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{63}{2} في y=\frac{1}{3}x+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

اضرب \frac{1}{3} في -\frac{63}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{1}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

اطرح y-\frac{1}{9}x=-1 من y-\frac{1}{3}x=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

اجمع -\frac{x}{3} مع \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

اجمع 6 مع 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{63}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{63}{2} في y-\frac{1}{9}x=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

اضرب -\frac{1}{9} في -\frac{63}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$y=-\frac{9}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$