حل {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=4$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{1}{4}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

أضف \frac{x}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{2}-4 في المعادلة الأخرى، y+\frac{1}{4}x=-1.

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

اجمع \frac{x}{2} مع \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{4}x=3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y=\frac{1}{2}x-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

اضرب \frac{1}{2} في 4.

$$y=2-4$$

اجمع -4 مع 2.

$$y=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-2,x=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{1}{4}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-2,x=4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{1}{4}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

اطرح y+\frac{1}{4}x=-1 من y-\frac{1}{2}x=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

اجمع -\frac{x}{2} مع -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

اجمع -4 مع 1.

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في y+\frac{1}{4}x=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

اضرب \frac{1}{4} في 4.

$$y+1=-1$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$y=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-2,x=4$$