حل {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

أضف \frac{x}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{2}+1 في المعادلة الأخرى، 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

اضرب 2 في \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

اجمع x مع 3x.

$$4x+2=-2$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في y=\frac{1}{2}x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

اضرب \frac{1}{2} في -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

لجعل y و2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

تبسيط.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

اطرح 2y+3x=-2 من 2y-x=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-x-3x=2+2$$

اجمع -x مع -3x.

$$-4x=2+2$$

اجمع 2 مع 2.

$$-4x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 2y+3x=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

اضرب 3 في -1.

$$2y-3=-2$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$