حل {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+4x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$y+4x=6$$

اطرح 4x من طرفي المعادلة.

$$y=-4x+6$$

عوّض عن y بالقيمة -4x+6 في المعادلة الأخرى، -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

اضرب -1 في -4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

اجمع 4x مع 3x.

$$7x-6=7$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=13$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{13}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{13}{7} في y=-4x+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

اضرب -4 في \frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

لجعل y و-y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

تبسيط.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

اطرح -y+3x=7 من -y-4x+6=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4x-3x+6=-7$$

اجمع -4x مع -3x.

$$-7x+6=-7$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-7x=-13$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=\frac{13}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{13}{7} في -y+3x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

اضرب 3 في \frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

اطرح \frac{39}{7} من طرفي المعادلة.

$$-y=\frac{10}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-\frac{10}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$