حل {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+3x=56$$

اطرح 3x من طرفي المعادلة.

$$y=-3x+56$$

عوّض عن y بالقيمة -3x+56 في المعادلة الأخرى، 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

اضرب 4 في -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

اجمع -12x مع x.

$$-11x+224=34$$

اطرح 224 من طرفي المعادلة.

$$-11x=-190$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$x=\frac{190}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{190}{11} في y=-3x+56. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

اضرب -3 في \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

اجمع 56 مع -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

لجعل y و4y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

تبسيط.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

اطرح 4y+x=34 من 4y+12x=224 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

اجمع 4y مع -4y. حذف الحدين 4y و-4y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12x-x=224-34$$

اجمع 12x مع -x.

$$11x=224-34$$

اجمع 224 مع -34.

$$11x=190$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$x=\frac{190}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{190}{11} في 4y+x=34. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

اطرح \frac{190}{11} من طرفي المعادلة.

$$4y=\frac{184}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{46}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$