حل {l}{y+25x=45}{y+.30x=35}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+25x=45$$

اطرح 25x من طرفي المعادلة.

$$y=-25x+45$$

عوّض عن y بالقيمة -25x+45 في المعادلة الأخرى، y+0.3x=35.

$$-25x+45+0.3x=35$$

اجمع -25x مع \frac{3x}{10}.

$$-24.7x+45=35$$

اطرح 45 من طرفي المعادلة.

$$-24.7x=-10$$

اقسم طرفي المعادلة على -24.7، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{100}{247}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{100}{247} في y=-25x+45. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

اضرب -25 في \frac{100}{247}.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

اجمع 45 مع -\frac{2500}{247}.

$$y=\frac{8615}{247}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

اطرح y+0.3x=35 من y+25x=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25x-0.3x=45-35$$

اجمع 25x مع -\frac{3x}{10}.

$$24.7x=45-35$$

اجمع 45 مع -35.

$$24.7x=10$$

اقسم طرفي المعادلة على 24.7، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{100}{247}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{100}{247} في y+0.3x=35. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

اضرب 0.3 في \frac{100}{247} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

اطرح \frac{30}{247} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{8615}{247}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$