حل {l}{x-y=3}{2x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+3$$

عوّض عن x بالقيمة y+3 في المعادلة الأخرى، 2x+3y=19.

$$2\left(y+3\right)+3y=19$$

اضرب 2 في y+3.

$$2y+6+3y=19$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y+6=19$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$5y=13$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{13}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{5} في x=y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{13}{5}+3$$

اجمع 3 مع \frac{13}{5}.

$$x=\frac{28}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+3y=19$$

تبسيط.

$$2x-2y=6,2x+3y=19$$

اطرح 2x+3y=19 من 2x-2y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-2y-3y=6-19$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-3y=6-19$$

اجمع -2y مع -3y.

$$-5y=6-19$$

اجمع 6 مع -19.

$$-5y=-13$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{13}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{5} في 2x+3y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\times \frac{13}{5}=19$$

اضرب 3 في \frac{13}{5}.

$$2x+\frac{39}{5}=19$$

اطرح \frac{39}{5} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{56}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{28}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$