حل {l}{x-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 20.

$$20x-y=320$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=21,20x-y=320$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=21$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+21$$

عوّض عن x بالقيمة y+21 في المعادلة الأخرى، 20x-y=320.

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

اضرب 20 في y+21.

$$20y+420-y=320$$

اجمع 20y مع -y.

$$19y+420=320$$

اطرح 420 من طرفي المعادلة.

$$19y=-100$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=-\frac{100}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{100}{19} في x=y+21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

اجمع 21 مع -\frac{100}{19}.

$$x=\frac{299}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 20.

$$20x-y=320$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=21,20x-y=320$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 20.

$$20x-y=320$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=21,20x-y=320$$

اطرح 20x-y=320 من x-y=21 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-20x-y+y=21-320$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x-20x=21-320$$

اجمع x مع -20x.

$$-19x=21-320$$

اجمع 21 مع -320.

$$-19x=-299$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$x=\frac{299}{19}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{299}{19} في 20x-y=320. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

اضرب 20 في \frac{299}{19}.

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

اطرح \frac{5980}{19} من طرفي المعادلة.

$$-y=\frac{100}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-\frac{100}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$