حل {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=37$$

$$y=21$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$2y-x=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=16$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+16$$

عوّض عن x بالقيمة y+16 في المعادلة الأخرى، -x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

اضرب -1 في y+16.

$$-y-16+2y=5$$

اجمع -y مع 2y.

$$y-16=5$$

أضف 16 إلى طرفي المعادلة.

$$y=21$$

عوّض عن y بالقيمة 21 في x=y+16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=21+16$$

اجمع 16 مع 21.

$$x=37$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=37,y=21$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$2y-x=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=37,y=21$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح x من الطرفين.

$$2y-x=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

لجعل x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

تبسيط.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

اطرح -x+2y=5 من -x+y=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

اجمع -x مع x. حذف الحدين -x وx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-2y=-16-5$$

اجمع y مع -2y.

$$-y=-16-5$$

اجمع -16 مع -5.

$$-y=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=21$$

عوّض عن y بالقيمة 21 في -x+2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+2\times 21=5$$

اضرب 2 في 21.

$$-x+42=5$$

اطرح 42 من طرفي المعادلة.

$$-x=-37$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=37$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=37,y=21$$