حل {l}{x-y=-6}{y=-3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = - 6 } \\ { y = - 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$y+3x=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=-6$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y-6$$

عوّض عن x بالقيمة y-6 في المعادلة الأخرى، 3x+y=2.

$$3\left(y-6\right)+y=2$$

اضرب 3 في y-6.

$$3y-18+y=2$$

اجمع 3y مع y.

$$4y-18=2$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$4y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5-6$$

اجمع -6 مع 5.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$y+3x=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$y+3x=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-6\right),3x+y=2$$

تبسيط.

$$3x-3y=-18,3x+y=2$$

اطرح 3x+y=2 من 3x-3y=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-3y-y=-18-2$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-y=-18-2$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y=-18-2$$

اجمع -18 مع -2.

$$-4y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 3x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+5=2$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$