حل {l}{x-y+1=0}{3x+y-3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y + 1 = 0 } \\ { 3 x + y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y+1=0,3x+y-3=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y+1=0$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$x-y=-1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y-1$$

عوّض عن x بالقيمة y-1 في المعادلة الأخرى، 3x+y-3=0.

$$3\left(y-1\right)+y-3=0$$

اضرب 3 في y-1.

$$3y-3+y-3=0$$

اجمع 3y مع y.

$$4y-3-3=0$$

اجمع -3 مع -3.

$$4y-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$4y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في x=y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

اجمع -1 مع \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y+1=0,3x+y-3=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y+1=0,3x+y-3=0$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\left(-1\right)y+3=0,3x+y-3=0$$

تبسيط.

$$3x-3y+3=0,3x+y-3=0$$

اطرح 3x+y-3=0 من 3x-3y+3=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-3y-y+3+3=0$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-y+3+3=0$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y+3+3=0$$

اجمع 3 مع 3.

$$-4y+6=0$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في 3x+y-3=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+\frac{3}{2}-3=0$$

اجمع \frac{3}{2} مع -3.

$$3x-\frac{3}{2}=0$$

أضف \frac{3}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{3}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$